Portfolio & CAPM
Indiquer fréquence, période d’estimation, univers d’actifs, taux sans risque et méthode de covariance. Les poids optimaux et bêta sont sensibles aux erreurs d’estimation.
Rendement attendu
Le rendement attendu est la moyenne pondérée des rendements attendus.
- \(\mathbb{E}[R_p]\)
- Rendement attendu du portefeuille.
- \(\Sigma\)
- Somme des contributions de tous les actifs.
- \(w_i\)
- Poids de l’actif i dans le portefeuille.
- \(\mathbb{E}[R_i]\)
- Rendement attendu de l’actif i.
- \(i\)
- Indice identifiant chaque actif.
Variance
Le risque dépend des variances et des covariances.
- \(\operatorname{Var}(R_p)\)
- Variance du rendement du portefeuille.
- \(w\)
- Vecteur colonne des poids des actifs.
- \(\mathbf{w}^{\mathsf T}\)
- Transposée du vecteur des poids.
- \(\Sigma\)
- Matrice de variance-covariance des rendements des actifs.
- \(R_p\)
- Rendement du portefeuille.
Frontière efficiente
Elle regroupe les portefeuilles offrant le meilleur rendement attendu pour chaque niveau de risque.
CAPM
Le CAPM relie rendement exigé, taux sans risque, bêta et prime de marché.
- \(\mathbb{E}[R_i]\)
- Rendement attendu de l’actif i selon le CAPM.
- \(R_f\)
- Taux sans risque.
- \(\beta_i\)
- Bêta de l’actif i par rapport au portefeuille de marché.
- \(\mathbb{E}[R_m]\)
- Rendement attendu du marché.
- \(\mathbb{E}[R_m]-R_f\)
- Prime de risque de marché.
Alpha
L’alpha mesure l’écart entre le rendement et celui expliqué par le modèle de référence.
Notions à maîtriser
Co-mouvement entre deux rendements.
Covariance normalisée entre −1 et +1.
Portefeuilles optimaux rendement/risque.
Portefeuille maximisant le Sharpe avec actif sans risque.
Risque systématique face au marché.
Rendement non expliqué par le modèle de référence.
Méthode pas à pas
- Estimer rendements et matrice de covariance.
- Calculer rendement et variance du portefeuille.
- Construire la frontière efficiente.
- Ajouter l’actif sans risque.
- Calculer bêtas et rendements CAPM.
- Tester stabilité et contraintes.
Exemple et interprétation
Deux actifs de volatilité 20 % à poids égaux ont 20 % de volatilité si corrélation +1, mais environ 14,1 % si corrélation nulle.
Le résultat doit être replacé dans son contexte économique, ses hypothèses et ses limites. Un calcul exact à partir d’hypothèses fragiles reste une conclusion fragile.
Erreurs fréquentes
- Sous-estimer l’instabilité des corrélations.
- Optimiser avec des rendements attendus trop précis.
- Confondre bêta et volatilité totale.
- Interpréter alpha historique comme compétence certaine.