Vol & Black-Scholes

Market Finance

Vol & Black-Scholes

Idée clé : La volatilité implicite est le niveau qui rend le modèle cohérent avec le prix observé.

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Contrôle de rigueur professionnelle

Black-Scholes-Merton repose sur des hypothèses fortes : volatilité et taux constants, marchés continus, absence de coûts et couverture dynamique. Toujours vérifier le style d’exercice et les dividendes.

Volatilité réalisée

Elle est estimée à partir des rendements historiques et souvent annualisée.

\[\sigma_{\mathrm{ann}} \approx \sigma_{\mathrm{périodique}}\sqrt{N}\]

Définition des variables

\(\sigma_{\mathrm{ann}}\): Volatilité exprimée sur une base annuelle.
\(\sigma_{\mathrm{pér}}\): Écart-type des rendements à la fréquence observée : quotidienne, hebdomadaire ou mensuelle.
\(\text{nombre de périodes}\): Nombre de périodes de cette fréquence dans une année, par exemple environ 252 jours de bourse ou 12 mois.
\(\text{Hypothèse}\): La racine du temps suppose notamment des rendements indépendants et une volatilité stable.

Volatilité implicite

Elle est extraite du prix de marché d’une option à l’aide d’un modèle.

Smile et skew

La volatilité implicite varie souvent selon le strike et la maturité.

Formules de Black-Scholes-Merton

Pour une option européenne sur un actif versant un rendement continu de dividende q, les prix théoriques du call et du put s’écrivent :

\[C_0 = S_0e^{-qT}N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)\]

\[P_0 = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0e^{-qT}N(-d_1)\]

\[d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\]

\[d_2 = d_1-\sigma\sqrt{T}\]

\[C_0-P_0 = S_0e^{-qT}-Ke^{-rT}\]

Définition des variables

\(C\ \text{et}\ P\): Prix respectifs du call européen et du put européen.
\(S_0\): Prix spot du sous-jacent à la date de valorisation.
\(K\): Prix d’exercice.
\(T\): Temps jusqu’à l’échéance, exprimé en années.
\(r\): Taux sans risque continûment composé, cohérent avec T et la devise.
\(q\): Rendement continu de dividende ou carry équivalent.
\(\sigma\): Volatilité annualisée du rendement du sous-jacent.
\(N(\cdot)\): Fonction de répartition de la loi normale standard.

Lecture économique

Une hausse de σ augmente la valeur temps du call et du put. Le modèle ne « prédit » pas la volatilité : lorsque le prix de marché est observé, on inverse généralement la formule numériquement pour obtenir la volatilité implicite.

Limites

Volatilité variable, jumps, coûts de transaction et liquidité imparfaite limitent le cadre simple.

Notions à maîtriser

Volatilité réalisée

Écart-type annualisé des rendements observés.

Volatilité implicite

Volatilité qui reproduit le prix de marché dans un modèle.

Skew

Variation de volatilité implicite selon le strike.

Term structure

Variation de volatilité selon la maturité.

Volatility risk premium

Écart moyen entre volatilité implicite et réalisée future.

Réplication dynamique

Portefeuille sous-jacent/cash reproduisant le payoff dans le modèle.

Méthode pas à pas

Calculer les rendements.
Estimer la volatilité réalisée.
Inverser le modèle pour obtenir l’implicite.
Lire smile, skew et term structure.
Comprendre les variables Black-Scholes.
Identifier limites et risques de couverture.

Exemple et interprétation

Exemple appliqué

Avant un résultat trimestriel, l’implicite courte peut monter. Après l’annonce, l’incertitude disparaît et la volatilité peut chuter : volatility crush.

Lecture professionnelle

Le résultat doit être replacé dans son contexte économique, ses hypothèses et ses limites. Un calcul exact à partir d’hypothèses fragiles reste une conclusion fragile.

Erreurs fréquentes

Traiter l’implicite comme prévision certaine.
Supposer une volatilité constante.
Ignorer jumps et coûts de transaction.
Appliquer Black-Scholes sans vérifier le style d’exercice.

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Volatilité et intuition Black-Scholes