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Options · 44 min · Intermédiaire

Options : calls, puts et Greeks

Une option donne à son acheteur un droit, et non une obligation.

Market Finance

Options & Greeks

Idée clé : L’acheteur paie une prime pour obtenir une asymétrie de payoff.
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Contrôle de rigueur professionnelle

Préciser style européen/américain, dividendes, taux, maturité, multiplicateur et unité de volatilité. Les Greeks sont locaux et évoluent avec le marché.

Call et put

Un call donne le droit d’acheter ; un put donne le droit de vendre au strike.

\[\Pi_{\mathrm{call}} = \max(S_T-K,0), \qquad \Pi_{\mathrm{put}} = \max(K-S_T,0)\]
Définition des variables
\(\mathrm{Call}\)
Payoff à l’échéance d’un call long, avant déduction de la prime payée.
\(\mathrm{Put}\)
Payoff à l’échéance d’un put long, avant déduction de la prime payée.
\(S_T\)
Prix du sous-jacent à l’échéance T.
\(K\)
Prix d’exercice, ou strike.
\(\max(a,0)\)
Fonction retenant la valeur positive de a, sinon zéro.
\(T\)
Date d’échéance de l’option.

Prime et moneyness

Le prix comprend une valeur intrinsèque éventuelle et une valeur temps ; la moneyness décrit la relation entre spot et strike.

Delta et gamma

Le delta mesure la sensibilité au spot ; le gamma mesure la variation du delta.

Vega et theta

Le vega mesure la sensibilité à la volatilité implicite ; le theta mesure l’effet du passage du temps.

Couverture

Une couverture delta doit être réajustée lorsque le spot et les sensibilités évoluent.

Delta : exposition directionnelle

Le delta mesure la variation approximative du prix de l’option pour une petite variation du sous-jacent. Un call a généralement un delta compris entre 0 et +1 ; un put entre −1 et 0.

\[\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}\]
Définition des variables
\(\mathrm{Delta}\)
Variation instantanée approximative de la valeur de l’option pour une petite variation du sous-jacent.
\(V\)
Valeur de l’option.
\(S\)
Prix spot du sous-jacent.
\(\frac{\partial V}{\partial S}\)
Dérivée partielle de la valeur de l’option par rapport au prix du sous-jacent, les autres variables étant supposées constantes.
Ordres de grandeur

Un call très ITM a un delta proche de +1, un call ATM autour de +0,5 et un call très OTM proche de 0. Pour un put, les signes sont négatifs.

Exemple appliqué

Un call a un delta de 0,60. Une hausse immédiate du sous-jacent de 1 augmente approximativement sa valeur de 0,60, avant effet du gamma et des autres facteurs.

Gamma : courbure et rebalancement

Le gamma mesure la variation du delta lorsque le spot bouge. Une option achetée est généralement positive gamma ; une option vendue est négative gamma.

\[\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\]
Définition des variables
\(\mathrm{Gamma}\)
Variation du delta lorsque le prix du sous-jacent varie.
\(\mathrm{Delta}\)
Sensibilité de premier ordre de l’option au sous-jacent.
\(V\)
Valeur de l’option.
\(S\)
Prix spot du sous-jacent.
\(\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\)
Dérivée seconde de la valeur de l’option par rapport au sous-jacent ; elle mesure la convexité locale.
  • Gamma maximal autour du strike pour les maturités courtes.
  • Long gamma : le delta évolue favorablement pendant un mouvement.
  • Short gamma : les pertes peuvent s’accélérer et la couverture doit être réajustée dans le mauvais sens.
Exemple appliqué

Delta 0,50 et gamma 0,08 : après une hausse du spot de 1, le nouveau delta est approximativement 0,58.

Theta : coût du temps

Le theta mesure l’effet du passage du temps, toutes choses égales par ailleurs. Il est souvent négatif pour une option longue car la possibilité de mouvements futurs diminue à l’approche de l’échéance.

\[\Theta = \frac{\partial V}{\partial t}\]
Définition des variables
\(\mathrm{Theta}\)
Variation de la valeur de l’option liée au passage du temps, toutes choses égales par ailleurs.
\(V\)
Valeur de l’option.
\(t\)
Temps calendaire. Selon les conventions, le theta peut être exprimé par jour ou par année.
\(\frac{\partial V}{\partial t}\)
Dérivée partielle de la valeur de l’option par rapport au temps.
  • La décroissance temporelle n’est pas linéaire.
  • Elle s’accélère souvent près de l’échéance pour les options ATM.
  • Une position positive theta est fréquemment négative gamma.
Exemple appliqué

Theta quotidien −0,04 : sans autre mouvement, l’option perd environ 0,04 en une journée.

Vega et rho : volatilité et taux

Le vega mesure la sensibilité à la volatilité implicite. Le rho mesure la sensibilité au taux sans risque.

\[\nu = \frac{\partial V}{\partial \sigma}, \qquad \rho = \frac{\partial V}{\partial r}\]
Définition des variables
\(\mathrm{Vega}\)
Variation de la valeur de l’option pour une variation de la volatilité implicite.
\(\mathrm{Rho}\)
Variation de la valeur de l’option pour une variation du taux d’intérêt.
\(V\)
Valeur de l’option.
\(\sigma\)
Volatilité implicite annualisée du sous-jacent.
\(r\)
Taux d’intérêt sans risque utilisé dans la valorisation.
\(\text{Convention}\)
Le vega est souvent coté pour une variation de 1 point de volatilité et le rho pour une variation de 1 point de taux, mais les systèmes peuvent employer d’autres unités.
  • Calls et puts achetés sont généralement positifs vega.
  • Le vega est élevé pour les options ATM et longues.
  • Le rho d’un call européen est généralement positif ; celui d’un put est généralement négatif.
Exemple appliqué

Vega 0,12 : un passage de volatilité implicite de 20 % à 21 % augmente approximativement le prix de 0,12.

Interactions entre Greeks

Trade-off gamma / theta

Acheter du gamma signifie souvent payer du theta : l’investisseur paie une prime temporelle pour bénéficier des mouvements du sous-jacent.

  • Une couverture delta-neutral n’est que locale : le gamma fait évoluer le delta.
  • Une position peut être delta-neutre mais très exposée au vega.
  • Vanna mesure l’interaction spot-volatilité ; volga la convexité par rapport à la volatilité ; charm l’évolution du delta avec le temps.
Exemple appliqué

100 calls de multiplicateur 100 et delta 0,55 représentent 5 500 actions de delta. Si le delta monte à 0,65, il faut vendre 1 000 actions supplémentaires pour revenir delta-neutre.

Notions à maîtriser

Delta

Sensibilité du prix de l’option à une variation du sous-jacent.

Gamma

Variation du delta lorsque le sous-jacent bouge.

Theta

Effet du passage du temps, souvent négatif pour une option longue.

Vega

Sensibilité à la volatilité implicite.

Rho

Sensibilité aux taux d’intérêt.

Moneyness

Relation entre spot et strike : ITM, ATM ou OTM.

Méthode pas à pas

  1. Tracer le payoff du call ou du put.
  2. Séparer valeur intrinsèque et valeur temps.
  3. Mesurer delta et construire la couverture.
  4. Mesurer gamma pour anticiper le rebalancement.
  5. Mesurer theta et vega.
  6. Contrôler rho et Greeks de second ordre.

Exemple et interprétation

Exemple appliqué

100 calls, multiplicateur 100 et delta 0,55 représentent une exposition de 5 500 actions. Si le gamma fait monter le delta à 0,65, il faut vendre 1 000 actions supplémentaires pour redevenir delta-neutre.

Lecture professionnelle

Le résultat doit être replacé dans son contexte économique, ses hypothèses et ses limites. Un calcul exact à partir d’hypothèses fragiles reste une conclusion fragile.

Erreurs fréquentes

  • Considérer le delta comme constant.
  • Être positif theta sans mesurer le gamma négatif.
  • Confondre vega et volatilité réalisée.
  • Oublier le multiplicateur du contrat.
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