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Market Finance
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Risque · 38 min · Avancé

VaR et performance ajustée du risque

Les mesures synthétiques doivent toujours être lues avec leurs hypothèses et leurs limites.

Market Finance

VaR & Performance

Idée clé : La VaR mesure un quantile ; elle ne représente pas une perte maximale.
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Contrôle de rigueur professionnelle

Toujours annoncer niveau de confiance, horizon, méthode et hypothèse d’agrégation. Backtester les exceptions : la VaR n’est ni une perte maximale ni une mesure suffisante des queues.

Value at Risk

La VaR estime une perte seuil pour un horizon et un niveau de confiance donnés.

Expected Shortfall

Il estime la perte moyenne conditionnelle au-delà du seuil de VaR.

Stress tests

Ils évaluent des scénarios extrêmes mais plausibles et complètent les mesures statistiques.

Sharpe, Sortino et risque baissier

Le ratio de Sharpe pénalise de la même manière les fluctuations positives et négatives, puisqu’il utilise la volatilité totale. Le ratio de Sortino cherche au contraire à isoler les rendements inférieurs à un seuil jugé acceptable.

\[\text{Sharpe} = \frac{R_p-R_f}{\sigma_p}\]
Définition des variables
\(\mathrm{Sharpe}\)
Ratio de rendement excédentaire par unité de volatilité totale.
\(R_p\)
Rendement moyen du portefeuille sur la période retenue.
\(R_f\)
Taux sans risque sur la même période et avec la même fréquence.
\(\sigma_p\)
Écart-type des rendements du portefeuille, utilisé comme mesure de volatilité totale.
\[\text{Sortino} = \frac{R_p-MAR}{\sigma_d}\]
Définition des variables
\(\mathrm{Sortino}\)
Ratio de rendement excédentaire par unité de risque baissier.
\(R_p\)
Rendement moyen du portefeuille sur la période retenue.
\(\mathrm{MAR}\)
Minimum Acceptable Return : rendement minimal jugé acceptable. Il peut s’agir de 0 %, du taux sans risque ou d’un objectif explicite.
\(\sigma_d\)
Downside deviation : écart quadratique des rendements situés sous le MAR.

Le numérateur mesure la performance moyenne au-dessus du rendement minimal acceptable. Le dénominateur ne tient compte que des écarts défavorables par rapport à ce seuil.

\[\sigma_d = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}\min(0,R_t-MAR)^2}\]
Définition des variables
\(\sigma_d\)
Downside deviation du portefeuille.
\(N\)
Nombre total d’observations retenues dans cette convention de calcul.
\(\Sigma\)
Somme des écarts baissiers au carré.
\(R_t\)
Rendement observé pendant la période t.
\(\mathrm{MAR}\)
Rendement minimal acceptable pour chaque période.
\(\min(0,R_t-\mathrm{MAR})\)
Ne conserve que les écarts négatifs ; les rendements supérieurs au MAR contribuent pour zéro.
\(t\)
Indice de chaque période d’observation.
MesureRisque retenuLecture
SharpeVolatilité totalePénalise à la fois les surprises positives et négatives.
SortinoDownside deviationNe pénalise que les rendements inférieurs au MAR.
Exemple de calcul du Sortino

Un portefeuille réalise un rendement mensuel moyen de 1,0 %. Le rendement minimal acceptable est de 0,2 % par mois et la downside deviation est de 1,5 %. Le Sortino mensuel vaut (1,0 % − 0,2 %)/1,5 % = 0,53.

Comment interpréter le ratio ?

Un ratio plus élevé indique une meilleure rémunération du risque baissier. Il n’existe cependant pas de seuil universel : la comparaison n’est pertinente qu’entre stratégies calculées avec le même MAR, la même fréquence, la même période et la même convention d’annualisation.

  • Choix du MAR : un MAR de 0 %, un taux sans risque ou un objectif de rendement produit des ratios différents.
  • Convention du dénominateur : certaines sources divisent par toutes les observations, d’autres seulement par les observations négatives. La convention doit être précisée.
  • Échantillon limité : peu de rendements sous le MAR peuvent rendre le ratio instable ou artificiellement élevé.
  • Risque de queue : le Sortino ne décrit pas à lui seul la gravité des pertes extrêmes ni la liquidité.
  • Non-linéarité : pour les options ou stratégies à payoff asymétrique, il faut compléter avec stress tests, VaR/ES et analyse de scénarios.

Drawdown

Le maximum drawdown est la plus forte baisse observée entre un pic et un creux.

Notions à maîtriser

VaR

Quantile de perte pour un horizon et niveau de confiance.

Expected Shortfall

Perte moyenne au-delà du seuil VaR.

Backtesting

Comparaison des pertes réalisées aux prévisions.

Stress test

Scénario extrême mais plausible.

Sharpe

Excès de rendement rapporté à la volatilité.

Maximum drawdown

Plus forte baisse entre un pic et un creux.

Sortino

Rendement au-dessus du MAR rapporté à la downside deviation.

MAR

Minimum Acceptable Return, seuil de rendement utilisé pour définir les observations défavorables.

Downside deviation

Dispersion quadratique des rendements situés sous le MAR.

Méthode pas à pas

  1. Définir horizon et confiance.
  2. Choisir méthode paramétrique, historique ou Monte Carlo.
  3. Calculer VaR et Expected Shortfall.
  4. Backtester les exceptions.
  5. Construire stress tests.
  6. Compléter par Sharpe, Sortino, tracking error et drawdown.

Exemple et interprétation

Exemple appliqué

VaR quotidienne 99 % de 1 M€ signifie que le modèle anticipe un dépassement environ 1 % des jours, mais ne fixe aucune perte maximale au-delà.

Lecture professionnelle

Le résultat doit être replacé dans son contexte économique, ses hypothèses et ses limites. Un calcul exact à partir d’hypothèses fragiles reste une conclusion fragile.

Erreurs fréquentes

  • Présenter la VaR sans horizon ni confiance.
  • Ignorer les pertes de queue.
  • Utiliser un horizon trop court pour un actif illiquide.
  • Supposer des corrélations stables en crise.
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